Série de statistique avec sa correction S1

exercice de série de statistiques TP

Exercice n°1 :

L’observation d’une population de 250 habitats urbains a révélé les résultats suivants concernant le nombre d’habitants (X) et la superficie du logement (Y) :

Tableau statistique exercice 1

Travail à faire:

Calculer le nombre moyen d’habitants et la superficie moyenne de logement.
Calculer x₂ et donner sa signification
Analyser la dispersion de la superficie de logement sachant que le nombre d’habitants est compris entre 4 et 8 habitants.
On se propose de voir s’il existe un lien entre le nombre d’habitants et la superficie des logements. Confirmer.

Solution du série de statistiques:

Solution d'exercice n°1:

Nous commençons par définir la population et les caractères utilisés, tels que : La population est désignée par les 250 habitats urbains observés n..=250 .

X représente le nombre d’habitants par habitat observé.

Alors qu’Y est la superficie du logement c-a-d l’habitat observé.

Il s’agit de calculer les moyennes marginales des deux variables c-à-d « le nombre moyen d’habitants indépendamment de la superficie de logement 𝑋 »ainsi que « la superficie moyenne de logement indépendamment du nombre d’habitants 𝑌 ».

Pour ce faire, on donne le tableau statistique suivant dans lequel nous présentons les distributions marginales de X (marge X) et de Y(marge Y) :

correction de tableau statistique d'exercice 1

Vu que l’effectif n₂₁ est indéfini il faut donc le calculer en fonction de l’effectif total n et la somme des autres effectifs simultanés dans le tableau tel que :

effectif n21

On peut «éventuellement passer par les effectifs marginaux soit de X soit de Y.

Par la suite, on aura besoin de développer le calcul au niveau de chacune des deux variables. D’où les résultats suivants :

Pour la variable X :

Variable x

On a donc :

Ce qui signifie que, indépendamment de la superficie du logement, chaque habitat pris parmi les 250 observés contient un nombre moyen d’habitant d’environ 6 personnes.

Pour la variable Y :

Variable Y

Ce qui donne :

effectif et fréquences

Ce qui signifie que chaque habitat pris parmi les 250 observés est composé par une superficie moyenne du logement d’environ 186,80 m².et ce indépendamment du nombre d’habitant.

2) 𝒙 _𝟐 représente la moyenne de X conditionnée par la 2° modalité de Y. ceci revient à calculer le nombre moyen d’habitant sachant que la superficie de logement est comprise entre 120 et 180 m².

Soit donc le tableau suivant présentant les statistiques de cette distribution conditionnelle de X :

distribution conditionnelle

Ce qui donne :

effectif et fréquence

Ce qui signifie que chaque habitat pris parmi les 100 observés et dont la superficie est exactement comprise entre 120 et 180 m², cet habitat est composé d’un nombre moyen d’habitant d’environ 6 personnes. Ce qui représente encore pratiquement la même moyenne que l’ensemble des habitats.

3) Calculer la superficie moyenne de logement sachant que le nombre d’habitant est compris entre 4 et 8 personnes revient à déterminer :

Ce qui représente la moyenne de Y conditionnée par la 2° modalité de X. D’où le tableau des statistiques suivant :

Tableau statistique

Ce qui donne :

effectif et fréquence

Ceci signifie que chaque logement pris parmi les 77 observés et dont le nombre moyen d’habitant est compris entre 4 et 8 personnes, est représenté par une superficie moyenne d’environ 177 m².

Nous travaillons dans cette question sur la même distribution que la question précédente c-à-d « la superficie de logement » conditionnée par le nombre d’habitant compris entre 4 et 8 habitants Yj /i₌₂.

Pour analyser sa dispersion on reprend le même tableau précédent comme suit :

Tableau statistique

Ce qui donne un écart-type de :

-En termes d’effectifs:

Effectif

En termes de fréquences :

fréquence

Pour analyser la dispersion de la superficie de logement sachant que le nombre d’habitants est compris entre 4 et 8 habitants, on doit calculer le coefficient de variation de cette distribution:

Coefficient de variance

On peut dire qu’il existe une moyenne dispersion

5) Pour analyser l’existence du lien entre les 2 variables X : « le nombre d’habitants » et Y :

« la superficie des logements » on peut passer par les fréquences ou la covariance.

-Pour les fréquences on peut, en effet, comparer les fréquences conditionnelles par rapport aux fréquences marginales. Si toutes les fréquences conditionnelles sont égales entre elles et sont égales à leurs fréquences marginales correspondantes alors les deux distributions seront totalement indépendantes. Si par contre il existe un seul cas de différence entre celles-ci, le lien serait inexistant.

On peut montrer dans ce cas que :

fréquence conditionnelle

Les fréquences sont toutes les deux différentes. Ce qui signifie que les deux variables sont dépendantes malgré la légère différence entre les deux fréquences.

-Pour la covariance, ce qui est un peu compliqué que le calcul des fréquences, on peut montrer avec l’équation de la covariance que :

équation de covariance

calcule de covariance

D’où :

covariance

Ce qui confirme effectivement la dépendance des deux variables puisque la covariance est nulle. Ces dernières sont même liées négativement puisque la covariance est négative.

Ce qui signifie que lorsque la superficie du logement augmente le nombre d’habitant diminue et vice versa.